Геометрия Лобачевского

Страница 1

В мемуаре «О началах геометрии» (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г.

Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевский заявляет: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть . Остается предполагать эту сумму или . То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов».

Лобачевский указывает, что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегдаи две прямые могут не пересекаться в случае, когдаони образуют с секущей углы, в сумме меньшие . Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пресекающие прямые от расходящихся (на рис. условно изображены прямые и , проведенные через точку А параллельно прямой , прямые и , проведенные через точку А и пресекающие прямую , и прямые и , расходящиеся с прямой ). Угол между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой , и перпендикуляром, опущенным из А на , Лобачевский называет «углом параллельности» и показывает, что функция , выражающая зависимость этого угла от длины а перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в виде

=2arctg (1)

где q – некоторая постоянная. При а0 угол параллельности всегда острый, причем он стремится к при , постоянная же q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицей длины, аналогичной абсолютной единицей длины, аналогичной единице угла в евклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше , и если - «угловой дефект» треугольника, то есть разность между и суммой его углов, то площадь треугольника S равна

(2)

где q – та же постоянная, что и в формуле (1).

Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особого рода кривую «предельного круга» - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал «предельной сферой», а в настоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название «воображаемая геометрия» подчеркивает, что эта геометрия относится к евклидовой, «употребительной», по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, «воображаемые», по его терминологии, к действительным.

Страницы: 1 2

Новости образования:

Рекомендации для родителей
Баловать или наказывать? С этой проблемой рано или поздно сталкиваются все родители, и неправильное ее решение может привести к очень серьезным последствиям – как для них самих, так для самих, так и для ребенка. Маленький человек еще не имеет жизненного опыта, позволяющего взрослым действовать имен ...

Общие понятия о процессе обучения истории и его компоненты
Накопление личного и коллективного опыта обучения, обмен им и практическое его использование возможны только потому, что в обучении в разных классах и школах проявляются общие зависимости между содержанием и приемами обучения, с одной стороны, и его образовательно-воспитательными результатами - с д ...

Особенности культуры педагогической деятельности
Культура человека, особенно взрослого, многоаспектна, и единое, общепризнанное понятие "культура" ¹ отсутствует. Мы под культурой понимаем "определенный уровень развития общества и человека, выраженный в типах и формах организации жизни и деятельности людей, а также в создаваемы ...

Главное на сайте

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.focuseducation.ru