А.М.Лежандра

Страница 2

По теореме 1, сумма углов каждого из треугольников ABC1 и AC1C не больше 180°; если хотя бы у одного из них сумма углов была бы меньше 180°, то и сумма углов прямоугольного треугольника ABC (получающаяся, если из суммы всех углов треугольников ABC1 и ACC1 вычесть 180°) была бы меньше 180°, что противоречит сделанному предположению. Поэтому сумма углов треугольника ABC1 также равна 180°. Отсюда, в точности так же как выше, заключаем, что в каждом из треугольников A1BC1 и A1AC1 сумма углов равна 180°.

Теперь уже нетрудно доказать теорему 2. Пусть сумма углов некоторого треугольника ABC равна 180°. Опустив на его большую сторону высоту BD, разобьем его на два прямоугольных треугольника ABD и CBD (см. рис. а).

Сумма углов каждого из треугольников ABD, CBD также равна 180° (т. к. если бы сумма острых углов хотя бы одного из треугольников ABD и CBD была меньше 90°, то сумма углов треугольника ABC также была бы меньше 180°). По доказанному выше, отсюда следует, что сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90°. Но каждый треугольник A1B1C1 можно разбить на два прямоугольных треугольника высотой, опущенной на большую сторону (см. рис.б). Так как сумма острых углов каждого из этих треугольников (A1B1D1 и B1C1D1 на рис. б) равна 90°, то сумма углов треугольника A1B1C1 равна 180°, что и завершает доказательство теоремы.

Теорема 3. Если сумма углов любого треугольника равна 180°, то справедлив V постулат.

Пусть A - точка, лежащая вне прямой DD' (см. рис.) . Опустим из точки A перпендикуляр AC на прямую DD' и проведем через точку A прямую BB', перпендикулярную к AC. Ясно, что прямые BB' и DD' не пересекаются (иначе образовался бы треугольник с суммой углов, большей 180°).

Надо доказать, что любая другая прямая MN, проходящая через точку А, пересекается с прямой DD'. Из двух лучей АM, АN выберем тот, который с отрезком АС составляет острый угол; пусть это будет луч АN и пусть (рис. в низу на с.22) точка В и N лежат по одну сторону от прямой АС (в противном случае можно было бы поменять обозначения точек В и В’. Угол ВАN обозначим через а.

рис.1 рис.2

Отложим на луче СD отрезок СР1=СА (рис. 2). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике АСР1 каждый из углов ∟А, ∟Р1=450=1/2*900 (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 1800). Отложим теперь на прямой СD отрезок Р1Р2= Р1А. тогда в равнобедренном треугольнике АР1Р2каждый из углов ∟Р1АР2, ∟Р2, как легко подсчитать, равен 1/2*450=1/4*900. Затем построим точку Р3 прямой СD (так, чтобы АР2= Р2Р3) и т.д. В результате получим лучи АР1,АР2, АР3…, каждый из которых пересекает прямую СD. При этом ∟ВАР1=1/2*900, ∟ВАР2=1/4*900, ∟ВАР3=1/8*900, …Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч АРn (пересекающий прямую DD’), для которого ∟ВАРn=1/2n*900<а. этим и завершается доказательство теоремы.

Как известно из V постулата (или аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 1800.

Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение «сумма углов треугольника равна 1800 эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).

В заключение приведем одно из доказательств V постулата, помещенных Лежандром в его книге "Начала геометрии". Для доказательства V постулата нужно лишь установить, что сумма углов треугольника не может быть меньше 180°: ведь тогда из теоремы 1 будет вытекать, что сумма углов треугольника в точности равна 180°, а потому, согласно теореме 3, будет справедлив V постулат. Доказательство проводится "от противного": пусть существует треугольник ABC, сумма углов которого меньше 180°, скажем, равна 180°- α (см. рис.).

Страницы: 1 2 3 4

Новости образования:

Влияние учения на развитие личности
На умственное развитие оказывает принципиальное влияние деятельность учения. При этом определяющее значение имеет усвоение и развитие речи в системе обучения. К программному развитию речи относятся следующие виды обучения и развития ребенка: во-первых, усвоение литературного языка, подчиненного нор ...

Базовый набор структур и построение алгоритмов на их основе
Теория структурного программирования доказывает, что алгоритм любой степени сложности можно построить с помощью основного базового набора структур:1) последовательная (линейная) структура;2) ветвящаяся структура;3) циклическая структура.Наиболее простыми для понимания и использования являются линей ...

Роль образования в формировании толерантности
Актуализируется проблема условий, средств, механизмов формирования толерантного сознания. Одним из главных социальных институтов, способствующих формированию толерантной личности в современном обществе, является образование. Толерантность как особенность сознания или личностная черта не присуща чел ...

Главное на сайте

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.focuseducation.ru