Методика проведения занятия по теме «Двумерные поверхности»

Педагогические практики » Элементы наглядной топологии в профильной школе » Методика проведения занятия по теме «Двумерные поверхности»

Страница 2

Лента Мёбиуса.

Интересный пример двумерной поверхности с краем был описан в 1862—1865 годах в работах немецких математиков Мёбиуса и Листинга. Она получается следующим образом: прямоугольник один раз перекручивается, и затем ее концы склеиваются (рис.4). Полученная поверхность с краем называется лентой Мёбиуса:

Рисунок 4

Рисунок 5

Эта поверхность имеет лишь одну сторону. Посмотрите, пожалуйста, на иллюстрацию 1 (см. Приложение II). Например, перемещая кисточку по листу Мёбиуса

мы придем к тому же месту, с которого начинали закрашивание, но с обратной стороны. Перемещая кисточку дальше, мы закрасим весь лист Мёбиуса и убедимся, что у него нет «второй стороны».

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса (иллюстрация 1).

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Ручка.

Ручка является поверхность с краем.

Рисунок 5

Тор.

Тор является поверхность без краем.

Рисунок 6

Бутылка Клейна.

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки, присоединить к отверстию на дне бутылки.

Бутылка Клейна является поверхностью без края. В отличие от сферы можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.

Рисунок 7

Проективная плоскость.

Проективная плоскость является поверхность без краем.

Рисунок 8

Широкий класс двумерных поверхностей можно получить, заклеивая отверстия на сфере листами Мёбиуса или ручками.

Решение задач.

Уровень А.

Задача 1. Укажите способы вложения окружности в тор.

Решение: Окружность в тор можно вложить тремя способами: либо так, что окружность уместится в маленьком круге (как на сфере), либо так, что она станет меридианом тора или её параллелью:

Страницы: 1 2 3 4 5

Новости образования:

Особенности организации игровых технологий на уроках в начальном звене школы
Задолго до того, как игра стала предметом научных исследований, она широко использовалась в качестве одного из важных средств воспитания детей. Время, когда воспитание выделилось в особую общественную функцию, уходит в глубь веков, и в такую же глубь веков уходит и использование игры как средства в ...

Выявление уровня развития творческого мышления и способностей к дизайн-деятельности
Для того чтобы определить «зону ближайшего действия», то есть тот уровень умений и навыков, который мы можем достичь в процессе обучения, нам нужно провести с дошкольниками диагностики, определяющие имеющийся уровень развития творческого мышления и дизайнерских способностей. Диагностическую работу ...

Особенности рефлексии
Осуществлять рефлексию можно по-разному: это элементы рефлексии на отдельных этапах урока; рефлексия в конце каждого урока, темы курса; постепенный переход к постоянной внутренней рефлексии. Пытаясь систематизировать знания и опыт работы по данному вопросу, мы предлагаем следующую классификацию вид ...

Главное на сайте

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.focuseducation.ru