Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел

б) (00), (00 0), (00 00)…

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истиной» природе изучаемых объектов и понятий, а формулируют лишь «их свойства, выраженные в аксиомах, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, оказывает что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними, однако в этой системе, т.е. кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие этим аксиомам.

Рассмотрим натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей системы аксиом 1-4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд чисел начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); отправляясь от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Итак, аксиоматическое построение системы натуральных чисел начинается с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, представляющих определения этого отношения. Дальнейшее построение теории сводится к рассмотрению свойств натуральных чисел и операции над. ними. Они раскрываются в определениях и теоремах и должны быть получены чисто логическим (дедуктивным) путем из отношения «непосредственно следовать за» и аксиом 1-4.

Покажем, например, как при таком построении теории можно ввести отношения «непосредственно предшествует» и др., часто и используемое при рассмотрении свойств натурального ряда. Так как среди неопределяемых понятий теории данного отношения нет, то его надо определить.

Определение 2. Если натуральное число б непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу б.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются на основании аксиом 1-4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число б, такое, что б1=а.

Доказательство: Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующие. Если число а содержится в М, то и число al также есть в М, поскольку предшествующим для al является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что число а1принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число. Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Заметим также, что б аксиоматическом определении натурального числа ни одну из аксиом нельзя опустить - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные аксиомы (три), а данная аксиома не выполняется. Это положение наглядно подтверждается примером, приведенным на рисунках 1-4, на рисунке 1 изображено множество, в котором выполняются аксиомы <2 и 3, но не выполнена аксиома 1 (аксиома 4 не имеет здесь М смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим); на рисунке 2 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не един, как требуется в аксиоме 2: на рисунке 3 изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1,2,4 но элемент с непосредственно следует за элементом а, так и за элементом б; на рисунке 4 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1,2,3, но не выполняется аксиома 4: множество точек, лежащих на луче, содержит 1 и вместе с каждым числом оно содержит непосредственно следующее за ним число, не оно не совпадает со всем множеством точек, показанных на рисунке.

Новости образования:

Общая характеристика использования НИТ в сфере образования
Под средствами новых информационных технологий (СНИТ) будем понимать программно-аппаратные средства и устройства, функционирующие на базе микропроцессорной, вычислительной техники, а также современных средств и систем информационного обмена, обеспечивающие операции по сбору, продуцированию, накопле ...

Проблемы дидактизма в работах Роберта Оуэна
Дидактика (от греч. didaktikós — поучающий, относящийся к обучению) — это область педагогики, исследующая закономерности процесса обучения. Эту науку определяют как общую теорию образования и обучения, поскольку она исследует общие закономерности познавательной деятельности человека, происхо ...

Методики проведения исследования и разработки мультимедийного учебно-методического пособия
Методика: "Что важнее?" Авторами данной методики являются В.С. Ивашкин, В.В. Онуфриева. Цель: определение ценностно-ориентационного единства класса (ЦОЕ) Ход выполнения. Учащимся предлагается анкета, каждые пять качеств которой характеризуют отношения к учебе (1, 6, 16, 18, 25), стиль пов ...