Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел

Страница 3

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе системе аксиом была сформулирована Дж.Пеано. Итак, понятие числа является одним из основных в математике. Число служит оружием, при помощи которого математика и другое науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия «число» сложилось в результате сложного и длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

В теории построенной Дж. Пеано, б качестве основного понятия взято отношение «непосредственно следовать за». Известными также считаются понятия множеств, элемента множеств и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а1. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в четырех аксиомах.

Аксиома 1. В множестве А существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из множества В существует единственный элемент a1, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из множества В существует не более одного элемента, за которым, непосредственно следует а.

Аксиома 4. Пусть множество и есть подмножество множества В и известно, что:

а) единица содержится в М;

б) из того, что а содержится в М, следует, что и al содержится в М;

тогда множество М совпадает с множеством А?

Опираясь на введенное отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение 1. Множество А, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы натуральными числами.

Приведенное определение называют аксиоматическим. В таких определениях все понятия выступают как первичные, а связи между ними описываются системой аксиом. Поэтому систему аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий.

В данном определении натурального числа ничего не говорится о природе элементов множества А. Следовательно, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества А .некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, получают различные интерпретации (модели) данной системы аксиом. Одной из них является ряд чисел 1,2,3,…, возникающий в процессе исторического развития общества. Элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, здесь обозначается символом 1. Возможны и другие модели данной системы аксиом. Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество (00) есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается и с предыдущего, приписыванием еще одного кружка.

а) (00), (000), (0000)…

Тогда A есть множество, состоящее из множеств описанного вида. Нетрудно убедиться в том, что оно является моделью системы аксиом 1-4. Действительно, в множестве А существует элемент (00), непосредственно не следующий ни за каким элементом данной совокупности множеств; если считать обведенные кружки за один элемент, то для каждого множества В рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из В добавление одного кружка; для каждого множества В существует не более одного множества, из которого образуется множество В добавлением не более одного множества, из которого образуется множестве В добавлением одного кружка; если М А известно, что множество В содержится в М, и из того, что В содержится в М, что и. множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве В, также содержится в М, то М = А.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8

Новости образования:

Классификация общего недоразвития речи
Существует не менее двух подходов к классификации общего недоразвития речи. Первый подход – психолого-педагогический, предложенный Р. Е. Левиной (1968). Р.Е. Левина[25] вместе с сотрудниками разработала периодизацию проявлений общего недоразвития речи: от полного отсутствия речевых средств общения ...

Значение формирования диалогических умений в становлении иноязычной речи младших школьников
В начале данного пункта первой главы нам стоит выяснить, что же такое диалогические умения и иноязычная речь. Нами было проанализировано множество психолого-педагогической литературы. Следует отметить, что определение «иноязычная речь» мы смогли найти только в одном источнике, в словаре русского яз ...

Понятие и значение ситуации в воспитательном процессе
В своем обыденном значении, как известно, ситуация (от средневекового лат. situatio — положение) — это сочетание условий и обстоятельств, создающих определенную обстановку. (7). При этом под условием мы понимаем «обстоятельство, от которого что-нибудь зависит; обстановку, в которой происходит, осущ ...

Главное на сайте

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.focuseducation.ru