Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел

Например, когда учащиеся изучают число «один», в учебнике приводятся изображения одноэлементных множеств: одно ведро, одна девочка, один стул и т.д.; когда изучают число «три», рассматривают множества, содержащие три элемента: три кубика, три камешка и др. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов в множестве каждый раз определяется путем пересчета, т.е. количественное и порядковое числа, а также их запись выступает в тесной взаимосвязи.

Сущность счета заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между множествами, подлежащими счету, и некоторым отрезкам натурального ряда. Процесс счета закончится тогда и только тогда, если считаемое множество конечно, видим, что понятие счета тесно связано с понятием отрезка натурального ряда и понятием конечного множества. Введем определение этих понятий.

Определение 1. Отрезком N натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Например, отрезок N 7 есть множество натурального ряда чисел или можно сказать, что отрезок натурального ряда N состоит из всех таких натуральных чисел б, что б < а.

Отрезки натурального ряда обладают рядом свойств.

1. Для любого натурального числа а верно, что 1 N а.

Действительно, что при а=1 имеем, что 1 N1= (1). Если же а > 1, то 1 < а, и, следовательно, 1 содержится в отрезке Nа.

2. Если число б содержится в отрезке Nа и б ≠ а, то и число б ≠ 1 также содержится в отрезке Nа.

Заметим, что при б Nа и б ≠ а имеем б < а, а потому существует такое натуральное число с, что а = б + с. Если с=1, то б + 1 = a, и, значит, оно содержится в отрезке Nа. Если же с 1, то с – 1 - натуральное число, и, следовательно, а = б - с = (б – 1) + (с – 1), но тогда б + 1 < а, т.е. б + 1 - натуральное число, принадлежащее отрезку Nа.

Определение 2. Множество А называется конечным, если существует взаимнооднозначное отображение этого множества на некоторый отрезок Na натурального ряда чисел.

Теорема 1. Одно и тс же множество А не может быть взаимно однозначно отображено на два различных отрезка натурального ряда чисел.

Доказательство: Если бы множество А можно было взаимно однозначно отобразить на два различных отрезка натурального ряда Nа и Nб (а ≠ в), то существовало бы и взаимно однозначное отображение Nа на Nб. Поэтому достаточно доказать, что при а ≠ в взаимно однозначно отображение Na на Nв невозможно. Кроме того, между любыми неравными натуральными числами имеет место одно из отношений: а < в либо а > в. Поэтому доказательство данной теоремы сводится к доказательству утверждения: если а < в, то не существует взаимно однозначного отображения Nа и Nв. Оно проводится с помощью математической индукции по а.

При а = 1 нам надо доказать, что не существует взаимно однозначного отображения множества N1 = (1) на множество Nв, где в > 1. Действительно, при в > 1 множество Nв содержит число в ≠ 1, и потому при любом отображении N1 в Nв хотя бы одно из чисел 1 или в не будет образом числа 1.

Предположим теперь, что для некоторого числа а невозможно взаимно однозначное отображение Nа и Nв при а < в, и докажем, что тогда при а + 1 - с невозможно взаимно однозначное отображение Nа + 1 на Nс. Если бы такое отображение существовало и образом числа а + 1 было бы число х, то, выбрасывая а + 1 из Nа + 1 и х из Nс, мы получили бы взаимно однозначное отображение Nа + 1 на Nс-(х). Но очевидно, множество Nс – (х) можно взаимно однозначно отобразить Nс-1. Поэтому существовало бы взаимно однозначное отображение Nа на Nс-1, что невозможно, так как из а+1 <с следует а < в = С-1, а мы предположили, что при а < в нет взаимного однозначного отображения Nа на Nв. Итак, теорема верна при а = 1 и из нее справедливости при а следует, что она выполняется и при а + 1. Значит, теорема доказана для любых а и в. Из теоремы 1 следует, что конечное множество А равномощно только одному отрезку натурального ряда Nа, и потому ему может быть поставлено в соответствие единственное число а. Это число а называют числом элементов в множестве А и пишут: п (А) = а. Число а есть количественное натуральное число.

Новости образования:

Психолого-педагогическая характеристика учащихся старших классов
Для того, чтобы обучение проходило успешно при подборе материала и подготовке уроков необходимо учитывать возрастные особенности школьников. Мне кажется, что т.к. при изучении наглядной топологии, мы делаем один из главных акцентов на развитие пространственного представления, то необходимо разобрат ...

Деятельность социального педагога по созданию ситуации успеха в работе с ребенком из неблагополучной семьи
Общей целью создания ситуации успеха является оказание помощи ребенку из неблагополучной семьи в решении проблем; сформированная готовность у него к социально-одобряемой деятельности. Основными принципами структуры создания ситуации успеха является следующее: принцип ориентации на личность воспитан ...

Возрастные особенности детей 10 – 15 лет и их готовность к иноязычной диалогической речи
Овладение иноязычной диалогической речью представляет некоторые трудности для школьников. Первая причина этого вызвана тем, что диалогическая речь объединяет два вида разговорной деятельности – аудирование и говорение. В связи с этим второй партнер должен понять реплику первого партнера и быстро и ...