Характеристика задач на построение

5. Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое раз­личие. При доказательстве теорем в большинстве случа­ев без труда выделяют условие и заключение. При ре­шении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении кон­структивных задач в классе целесообразно иногда спе­циально выделять, что дано и что требуется доказать. Например, при решении задачи: «Построить ромб по двум его диагоналям» предлагаем ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны равны). Однако при решении задач дома и в кон­трольных работах мы не требуем оформления доказа­тельства с выделением отдельно условия и заключения.

Нет надобности требовать проведения особого дока­зательства в задачах, где правильность решении очевид­на. А иногда, если даже правильность решении и не усматривается непосредственно, учитель, учитывая на­значение решаемых задач, может не требовать доказательства, предупредив об этом учащихся.

Исследование.

Сущность и значение исследования.

Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовле­творяющую определенным условиям, которые в боль­шинстве своем задаются размерами или положенном некоторых геометрических образов. Условия задач фор­мулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения.

Допустимые значения определяются наиболее есте­ственным образом. В задаче: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними» допусти­мыми значениями для а и b будут всевозможные отрез­ки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать все­возможные значения от 0° до 180°.

В задаче: «Построить окружность, касающуюся длиной окружности в данной на ней точке и данной прямой» прямая может занимать любое положение на плоскости; окружностью также может быть любая окружность на плоскости, но так как окружность характери­зуется положением центра и величиной радиуса, то мож­но сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом – любой отрезок, длина которого 0 < R < ∞. (Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным чистом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи.) Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плос­кости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.

Иногда невозможность построения искомой фигу­ры очевидна, если хоть один из данных элементов не принадлежит области допустимых значений. Например: «Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу между ними в 240°». Такая задача решения не имеет, так как любой угол треугольника всегда меньше 180°.

Но если все данные принадлежат соответствующей области существования, то в большинстве случаев много­образие возможных положений, характер изменения данных приводит, как и в алгебре при решении задач с параметрическими данными, к постановке вопросов: При каких данных задача не имеет решения? Как изме­няется ответ при определенном характере изменения дан­ных? Каковы должны быть значения исходных данных, чтобы получить намеченный ответ? и т. п.

При анализе, а значит, и при построении всегда исходим из предположения, что искомая фигура сущест­вует, не учитывая всего многообразия данных, их разме­ров и взаимных соотношений. Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необхо­димые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы долж­ны установить, при всяком ли выборе данных задача имеет решение и если имеет, то сколько. Например: «Построить окружность, проходящую через три данные раз­личные точки». Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача реше­ния не имеет.

Если при определенном сочетании данных общее ре­шение не применимо, то необходимо дать новое решение, которое часто не незначительно отличается от общего или является его вырожденным случаем. Иногда план реше­ния сохраняется, по его осу­ществление с помощью ин­струментов выполняется не так, как в общем случае.

Новости образования:

Программа элективного курса «Элементы наглядной топологии»
Пояснительная записка Предлагаемый элективный курс предназначен для учащихся 10-х классов математического профиля. Курс рассчитан на 16 часов, на второе полугодие. Программа элективного курса включает материал об элементах наглядной топологии, которая нашла себе ряд блестящих применений для описани ...

Формирование эстетической культуры учащихся
Природа - ничем не заменимый источник прекрасного. Она дает богатейший материал для развития эстетического чувства, наблюдательности, воображения. Красота природы играет большую роль в воспитании духовного благородства, воспитывает в душе подростка способность ощущать, воспринимать тонкости, оттенк ...

Выгоды России от участия в Болонском процессе
Важно отметить, что среди причин присоединения России к Болонскому процессу немаловажную роль сыграли те преимущества, которые получит российская система высшего образования. Возможные позитивные последствия от вступления России в Болонский процесс целесообразно рассматривать на нескольких уровнях: ...